Tag Archives: 重力の位置エネルギー

今、地球付近のニュートンの万有引力Fを、F=-GMm/r²、G:万有引力定数、M:地球質量、m:落下物体の質量、r:落下物体と地球重力中心までの距離、と表せば、 １）重力の位置エネルギーは、-mgr、g:重力の加速度、である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＜証明＞F=-GMm/r²はF=-mgと等しいから、-GMm/r²=-mgであり、両辺にrを掛けると、　　-GMm/r=-mgrとなる。無限遠の彼方からの質量mの物体の地球重力中心からrの位置に於け　る地球重力によって生じる位置エネルギーUは、 U=-∫(-GMm/R²)dR=[-GMm/R] (∞,r]=-GMm/r、(∞,r]:積分区間 ∴　U=-mgr   qed. ２）重力の位置エネルギーと運動エネルギー（1/2*mv²）との和は一定である。　　　　　　　　　　　　＜証明＞自由落下による落下物体の速度v（空気抵抗等は捨象する）は、v=-gt、t:時間、であ　り時間による変位yは、y=∫vdt=-1/2*gt²+C、C:積分定数、であるが、t=0の時、y=C=rである　からy=-1/2*gt²+rである。故に、地球重力中心からyの位置に於ける自由落下物体の位置エ　　ネルギーは、１）により-mgyであり、 -mgy=-mg(-1/2*gt²+r)=1/2mg²t²-mgr=1/2*mv²-mgr  ∵g²t²=v² よって、1/2*mv²+mgy=mgr（一定）を得る。　qed.