Author Archives: undershallow

（答）不可能に思える。 何故なら、既に見たとおり、E²=(mc²)²+(cp)²を得ているが、p²=p₁²+p₂²+p₃²=(γmVx)²+(γmVy)²+(γmVz)²=γ²m²v²,  γ=1/√(1-v²/c²), v=(Vx,Vy,Vz),であったから、 E²=(mc²)²+(cp)²=(mc²)²+c²γ²m²v²=(mc²)²+c²m²v²/(1-v²/c²)={(mc²)²(1-v²/c²)+c²m²v²}/(1-v²/c²)=(mc²)²/(1-v²/c²) ∴　E=mc²/√(1-v²/c²) 従って、v→c  ⇒　E→∞となるから、質量ある物体を光速まで加速するには無限のエネルギーが必要となるので、それは不可能であろう。逆に、この事は物体をエネルギーを投入して加速しても光速に近付くに連れ速度は光速までには上昇せず（抑々、速度の合成則から光速超にならない）そのエネルギーは質量に変換されて仕舞う様に見える、と解釈できる。

今、地球付近のニュートンの万有引力Fを、F=-GMm/r²、G:万有引力定数、M:地球質量、m:落下物体の質量、r:落下物体と地球重力中心までの距離、と表せば、 １）重力の位置エネルギーは、-mgr、g:重力の加速度、である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＜証明＞F=-GMm/r²はF=-mgと等しいから、-GMm/r²=-mgであり、両辺にrを掛けると、　　-GMm/r=-mgrとなる。無限遠の彼方からの質量mの物体の地球重力中心からrの位置に於け　る地球重力によって生じる位置エネルギーUは、 U=-∫(-GMm/R²)dR=[-GMm/R] (∞,r]=-GMm/r、(∞,r]:積分区間 ∴　U=-mgr   qed. ２）重力の位置エネルギーと運動エネルギー（1/2*mv²）との和は一定である。　　　　　　　　　　　　＜証明＞自由落下による落下物体の速度v（空気抵抗等は捨象する）は、v=-gt、t:時間、であ　り時間による変位yは、y=∫vdt=-1/2*gt²+C、C:積分定数、であるが、t=0の時、y=C=rである　からy=-1/2*gt²+rである。故に、地球重力中心からyの位置に於ける自由落下物体の位置エ　　ネルギーは、１）により-mgyであり、 -mgy=-mg(-1/2*gt²+r)=1/2mg²t²-mgr=1/2*mv²-mgr  ∵g²t²=v² よって、1/2*mv²+mgy=mgr（一定）を得る。　qed.

今、ニュートンの万有引力Fは、F=-GMm/r²、G：万有引力定数、M：地球質量、m：宇宙船の質量、r：地球半径、と表される。この時、無限遠の彼方からの質量mの宇宙船の地球表面に於ける地球重力によって生じる位置エネルギーUは、U=-∫(-GMm/R²)dR=[-GMm/R](∞,r]=-GMm/rであるから、この位置エネルギー（負）を打消し、超える運動エネルギーを宇宙船に与えるべく加速すれば良い。その必要速度vは、運動エネルギーが1/2*mv²であるから、次の不等式を満たせば良い。尚、(∞,r]:積分区間 1/2*mv²≧GMm/r 他方、ニュートンの運動方程式は、F=ma、a:加速度、であるから地球表面付近の重力の加速度を-gとすると、-GMm/r²=-gm (a=-g)であるから、 v²≧2gr　i.e.　v≧√(2gr) 例えば、r=6360Km、g=9.8m/s²とすると、v≒11164.94514≒11.2Km/sとなる。尚、脱出まで至らずに地球を周回する等速円運動をする場合は、a=-v²/rであるから、-GMm/r²=-v²/r*m　が成り立つ。故に、v=√(GM/r)=√(gr)　よって、この場合は、v≒7894.808421≒7.9Km/sとなる。以上

既に先の「面積速度一定の法則の導出」に於いて次式を得ている。 r´´-rθ´²=d²θ/dt²-r*(dθ/dt)²=-GM/r²　i.e.　d²θ/dt²=r*(dθ/dt)²-GM/r² 面積速度を改めてh=1/2*r²*dθ/dtと置き、u=1/rと変数変換すると、 du/dθ=-1/r²*dr/dt*dt/dθ=-1/r²*dr/dt*1/(dθ/dt)であるから、 du/dθ=-1/r²*dr/dt*(r²/2h)=-1/2h*dr/dt ∴ d²u/dθ²=-1/2h*d²r/dt²*dt/dθ=-r²/4h²*d²r/dt² =-r²/4h²*(r*(dθ/dt)²-GM/r²)=GM/4h²-r³/4h²*(dθ/dt)² =GM/4h²-r³/4h²*(2h/r²)²=GM/4h²-1/r=GM/4h²-u よって、 d²u/dθ²=-u+GM/4h²　（二階線形微分方程式）を得る。 ここで、d(u-GM/4h²)/dθ=du/dθであるから、d²(u-GM/4h²)/dθ²=d²u/dθ²=-(u-GM/4h²)　即ち、２回微分すると符号だけが変わる関数（例えば三角関数）がこの微分方程式の解となる事が解る。所で、微分方程式理論によると上記二階線形微分方程式の解は全てacosθ+bsinθの形に書ける事が解っていて、次の形に纏める事が出来る。但し、A及びαは定数。 Acos(θ+α)=A(cosθcosα-sinθsinα)=Acosαcosθ+(-Asinα)sinθ、a=Acosα、b=-Asinα　よって、 u-GM/4h²=Acos(θ+α)　i.e.  u=1/r=GM/4h²+Acos(θ+α)  ∴ r=1/{GM/4h²+Acos(θ+α)} 分子分母をGM/4h²で割ると、r=(4h²/GM)/{1+A(4h²/GM)cos(θ+α)}を得るが、これは二次曲線の極座標表示であって、e=A(4h²/GM)と置くと、e=0の時は真円、0<e<1の時は楕円、e=1の時は放物線、e>1の時は双曲線を表している。従って、この式は天体軌道の一般式であるが、惑星軌道は太陽を周回しているので楕円（A=0の時のみ真円）である。以上

今、太陽（原点とする）を巡る天体の位置ベクトルを極座標でr=(rcosθ,rsinθ)、|r|=rとすると、 dr/dt=(r´cosθ-rθ´sinθ,r´sinθ+rθ´cosθ) d²r/dt²=((r´´-rθ´²)cosθ-(2r´θ´+rθ´´)sinθ,(r´´-rθ´²)sinθ+(2r´θ´+rθ´´)cosθ)　　　　　　  =((r´´-rθ´²)cosθ-1/r*(r²θ´)´sinθ,(r´´-rθ´²)sinθ+1/r*(r²θ´)´cosθ) ここで、2r´θ´+rθ´´=1/r*(r²θ´)´である。 ニュートンの法則は、F=ma（a:加速度、運動方程式）　且つ　F=GMm/r² （G:万有引力定数、M:太陽質量、m:天体質量、万有引力の法則） これ等が万有引力ベクトルとして釣り合うから、m*d²r/dt²=-GMm/r²*r/r （r/rはrの単位ベクトル、a=d²r/dt²）が成り立つ。従って、これに加速度ベクトルと位置ベクトルを代入して解くと、 （x成分を比較すると、r´´-rθ´²=-GM/r²を得るが、この議論には関係ない） y成分を比較すると、1/r*(r²θ´)´=0  i.e.  (r²θ´)´=0を得る。 次に、動径rが時間⊿tを経過する間に⊿θだけ回転して掃き描く面積を⊿Ｓとすると、 ⊿S=1/2*(r+⊿r)*rsin(⊿θ)　であるから、 ⊿S/⊿t={1/2*(r+⊿r)*rsin(⊿θ)}/⊿t=1/2*(r+⊿r)r*sin(⊿θ)/⊿θ*⊿θ/⊿t ここで、⊿t→0とすれば、⊿r→0、⊿θ→0、従って、sin(⊿θ)/⊿θ→1、即ち、 lim(⊿S/⊿t)=dS/dt=1/2*r²*dθ/dt=1/2*r²θ´ 故に、1/2*r²θ´=定数、∵ (r²θ´)´=0　従って、面積速度であるdS/dtは、働いている力が万有引力-GMm/r²でなくても（別の中心力でも）物体間の距離rに依存して一定となる。以上