楕円を、x²/a²+y²/b²=1,a>b>0とすると焦点は、(±√(a²-b²),0)である。そこでc=±√(a²-b²)と置いて、(x+c)²/a²+y²/b²=1の極座標表示を求める。x=rcosθ,y=rsinθとするとr(>0)は原点O(0,0)から楕円周までの距離であり、θはそのrを与える直線がX軸と為す角である。これ等を上式に代入すると、
(rcosθ+c)²/a²+(rsinθ)²/b²=1
これをrについて解くと、次の二つの値、
r=-(a*b*sqrt((a^2-c^2)*sin(θ)^2+b^2*cos(θ)^2)+b^2*c*cos(θ))/(a^2*sin(θ)^2+b^2*cos(θ)^2),
r=(a*b*sqrt((a^2-c^2)*sin(θ)^2+b^2*cos(θ)^2)-b^2*c*cos(θ))/(a^2*sin(θ)^2+b^2*cos(θ)^2)
を得るが、r>0であるから、結局、c^2=c²=a²-b²を消去すると、
r=b²(a-ccosθ)/(b²cos²θ+a²sin²θ)、
ここでa²sin²θ=a²(1-cos²θ)=a²-a²cos²θ=a²-(c²+b²)cos²θであるから、求める結果は、
r=b²(a-ccosθ)/(a²-c²cos²θ)=b²/(a+ccosθ)
これを、離心率ε=c/a(0<ε<1)を使って表せば、r=(b²/a)/(1+εcosθ)となる。因みに、c=3,a=5,b=4の時のグラフは次の通り。楕円のグラフ
undershallow 