外積

ベクトルa=(a₁,a₂,a₃)とb=(b₁,b₂,b₃)の外積は、a×b=(a₂b₃-b₃a₂,a₃b₁-b₁a₃,a₁b₂-b₂a₁)と定義される。この時c=a×bとし、aとbのなす角をθとすれば、a・c=0、b・c=0且つ|a×b|=|a||b|sinθである。

＜証明＞

a・c=a₁(a₂b₃-b₃a₂)+a₂(a₃b₁-b₁a₃)+a₃(a₁b₂-b₂a₁)=0

b・c=b₁(a₂b₃-b₃a₂)+b₂(a₃b₁-b₁a₃)+b₃(a₁b₂-b₂a₁)=0

|a×b|²=(a₂b₃-b₃a₂)²+(a₃b₁-b₁a₃)²+(a₁b₂-b₂a₁)²=|a|²|b|²-(a・b)²=|a|²|b|²-(|a||b|cosθ)²

=|a|²|b|²(1-cos²θ)=|a|²|b|²sin²θ　∴|a×b|=|a||b|sinθ　 qed.